คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์
เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์สิ่งต่างๆ การแก้ปัญหา (Problem Solving) ทั้งในด้านชีวิตประจำวันและด้านอื่นๆ
การใช้เหตุผลซึ่งต้องอาศัยคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานทั้งสิ้น
ในปัจจุบันปัญหาส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน
มีวิธีการแก้ปัญหาโดยอาศัยหลักของเหตุและผล
อาศัยรูปแบบความคิดทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้
ซึ่งจำเป็นต้องมีข้อมูลในระดับหนึ่งมาช่วยในการตัดสินใจ
หลักการของการแก้ปัญหาใดก็ตามก็คือ นำกฎเกณฑ์ต่างๆที่เป็นความรู้ เป็นทฤษฏีต่างๆ
ซึ่งก็คือกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์นั่นเองมาใช้ประกอบกับข้อมูลที่มีอยู่ในระดับหนึ่ง
คำตอบของปัญหาที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม
การแก้ปัญหานี้เป็นกลไกที่เกิดขึ้นในสมองของแต่ละคน แม้ว่าคำตอบที่ได้จะเหมือนกัน
แต่ในด้านของวิธีการคิดของแต่และบุคคลซึ่งอาศัยพื้นฐานความคิดทางคณิตศาสตร์ความมีเหตุผลอาจจะมีแตกต่างกันไปก็ได้
ซึ่งหากพิจารณาถึงองค์กร ทุกองค์กรมีวัตถุประสงค์
มีผู้บริหารที่จะบริหารองค์กรให้องค์กรบรรลุวัตถุประสงค์
ผู้บริหารองค์กรจึงต้องเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ แก้ปัญหา วางแผน และกำหนดนโยบาย
ผู้บริหารต้องหาข้อมูล และใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ เพื่อตัดสินใจกำหนดทางเลือก
ผู้บริหารขององค์กรจึงเป็นบุคคลที่มีบทบาทที่สำคัญในการนำองค์กรให้บรรลุวัตถุประสงค์
การตัดสินใจผิดพลาดอาจทำให้เกิดผลเสียหายได้ ดังนั้น
การตัดสินปัญหาจึงต้องอาศัยหลักการและข้อมูล เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของทางเลือก
และที่สำคัญคือ การลดการตัดสินใจที่ผิดพลาด
ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้นก็ต้องนำคณิตศาสตร์มาเกี่ยวข้องด้วย เช่น
การคำนวณหากำไรสูงสุด คำนวณต้นทุนการผลิตต่ำ
และคำนวณว่าจะผลิตอย่างไรจึงจะขายสินค้าได้ดี เป็นต้น
ดังนั้นจะเห็นได้ว่า คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา
เป็นสิ่งที่ขาดกันไม่ได้เลย เพราะไม่ว่าปัญหาใดๆ ก็จะมีวิธีการทางคณิตศาสตร์
มาเกี่ยวข้องด้วยเสมอ ซึ่งดิฉันก็คิดว่ามันเป็นเช่นนั้นเช่นกัน
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์สิ่งต่าง
ๆ การแก้ปัญหา (Problem Solving) ทั้งในด้านชีวิตประจำวันและด้านอื่นๆ
การใช้เหตุผลซึ่งต้องอาศัยคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานทั้งสิ้น
คณิตศาสตร์มาจาคำว่า Mathematics ในภาษากรีก Math หมายถึงการเรียนรู้ (learning) ดังนั้น
ทำอย่างจึงจะทำให้คนอยากเรียนรู้ แซมมัว พาเพ่ นักจิตวิทยาคนหนึ่งพยายามสร้างแนวความคิดนี้
และบอกว่าคณิตศาสตร์เป็นกลไกหนึ่งที่ทำให้เกิดความอยากเรียนรู้
จึงทำให้เขาคิดโปรแกรมคอมพิวเตอร์ขึ้นมาชนิดหนึ่ง ซึ่งก็คือ Logo นั่นเอง
ในสมัยโบราณชาวกรีก ชาวอียิปต์ สามารถประดิษฐ์ปฏิทินทางสุริยคติได้
สามารถบอกได้ว่าดวงอาทิตย์หมุนรอบโลกใช้เวลาเท่าไร
จะเห็นว่าอารยะธรรมสิ่งประดิษฐ์และการแก้ปัญหาต่างๆ
ในอดีตล้วนแต่อาศัยพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น
ในปัจจุบันปัญหาส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวันมีวิธีการแก้ปัญหาโดยอาศัยหลักของเหตุและผล
อาศัยรูปแบบ(model)
ความคิดทาง คณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้
ซึ่งจำเป็นต้องมีข้อมูลในระดับหนึ่งมาช่วยในการตัดสินใจ
หลักการของการแก้ปัญหาใดก็ตามก็คือ นำกฎเกณฑ์ต่าง ๆที่เป็น Fact เป็นความรู้ เป็นทฤษฏีต่าง ๆ ซึ่งก็คือกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์นั่งเองมาใช้ประกอบกับข้อมูลที่มีอยู่ในระดับหนึ่ง
infer ตำตอบของปัญหาที่ต้องการอย่างไรก็ตาม
การแก้ปัญหานี้เป็นกลไกที่เกิดขึ้นในสมองของแต่ละคน แม้ว่าคำตอบที่ได้จะเหมือนกัน
แต่ในด้านของวิธีการคิดของแต่และบุคคลซึ่งอาศัยพื้นฐานความคิดทางคณิตศาสตร์ความมีเหตุผลอาจจะมีแตกต่างกันไปก็ได้
การพัฒนาบุคคลในประเทศให้เป็นผู้ชำนาญเฉพาะด้านไม่ว่าด้านใดก็ตาม
ผู้ที่มีความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์จะเป็นผู้ที่ได้เปรียบเพราะจะสามารถ infer ความรอบรู้ ความสัมพันธ์ (relation) ของสิ่งต่างๆ
ให้อยู่ในรูปแบบ (model) ทางคณิตศาสตร์
และนำรูปแบบนี้ไปใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป
กลไกทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งเรียกว่า Zerogism ซึ่งปรากฏว่าในสมองของคน มีกลไกลักษณะเช่นนี้อยู่ กล่าวคือเป็นกลไกของการ Infer
ความรอบรู้ต่าง ๆให้เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์
และส่วนนี้เองที่ใช้รากฐานทำให้คนมีความคิดในการแก้ปัญหา การประยุกต์ใช้ของ Zerogism
ก็คือกฎเกณฑ์ที่เป็นกระบวนการถ่ายทอดความรู้ซึ่งเป็นหลักการทางคณิตศาสตร์นั่นเอง
โดยสรุปแล้ว
การที่จะสร้างและพัฒนาคนให้เกิดประโยชน์ต่อประเทศชาติไม่ว่าในด้านใดก็ตามคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานที่สำคัญ
บทบาทของคณิตศาสตร์มี 2 ด้าน
ด้านแรก คือ คณิตศาสตร์มีบทบาทในฐานะทีเป็นบทบาทพื้นฐาน
กล่าวคือ ทำให้ ทำให้คนทีมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ สามารถเรียนรู้เรื่องรายต่าง ๆ
ได้กว้างและลึกซึ้ง คณิตศาสตร์เป็นความรู้ที่สนับสนุนความนึกคิดที่เป็นวิทยาศาสตร์
นั้นคือเชื่อในเหตุผลของธรรมชาติผลต้องเกิดจากเหตุ
ด้านที่สอง คือ
ด้านที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาทางเศรษฐกิจของประเทศทั้งในแง่การเรียนรู้และการนำไปประยุกต์ใช้
ซึ่งได้แก่ สถิติ operation research บัญชี
การวิจัยตลาดวิศวกรรมและอุตสาหกรรม
ชีวิตประจำวันของทุกคนต้องนึกคิด และจินตนาการต่าง ๆ
สิ่งที่สำคัญคือ ทุกคนต้องการกระทำในสิ่งที่ดีที่สุด
ผู้ลงทุนการค้าก็หวังให้ได้กำไรสูงสุด ต้นทุนการผลิตต่ำ ขายสินค้าได้ดี
การทำงานของทุกคนจึงต้องเผชิญกับปัญหา และหาทางแก้ปัญหาให้ดีที่สุด
ชีวิตตั้งแต่ตื่นจนกระทั่งถึงเวลานอนอีกครั้ง ทุกคนจะต้องตัดสินใจ
หาทางเลือก เลือกทำในสิ่งที่ดี ที่ถูกต้อง เช่น เมื่อเดินทางมามหาวิทยาลัย
บางคนมีทางเลือกได้หลายทาง เช่น จะขึ้นรถเมล์สายใดดี และจะลงต่อรถที่ใด
เพื่อว่าจะได้เดินทางได้เร็วและสะดวก เมื่อมาที่โรงอาหาร ก็มีอาหารให้เลือกมากมาย
จะเลือกทานอะไรดี เงื่อนไขของการตัดสินใจจึงมีมากมาย จะเลือกตามราคา
เลือกตามความอยาก เลือกเพราะอยากลอง จะเห็นว่า
ทุกขณะสมองของเราได้คิดและแก้ปัญหาอยู่ตลอดเวลา เรามีการตัดสินใจและกระทำ
เมื่อกระทำแล้วก็มีการประเมินผลหรือเรียนรู้ไว้เป็นประสบการณ์
หากพิจารณาถึงองค์กร ทุกองค์กรมีวัตถุประสงค์
มีผู้บริหารที่จะบริหารองค์กรให้องค์กรบรรลุวัตถุประสงค์
ผู้บริหารองค์กรจึงต้องเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ แก้ปัญหา วางแผน และกำหนดนโยบาย
ผู้บริหารต้องหาข้อมูล และใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ เพื่อตัดสินใจกำหนดทางเลือก
ผู้บริหารขององค์กรจึงเป็นบุคคลที่มีบทบาทที่สำคัญในการนำองค์กรให้บรรลุวัตถุประสงค์
การตัดสินใจผิดพลาดอาจทำให้เกิดผลเสียหายได้ ดังนั้น
การตัดสินปัญหาจึงต้องอาศัยหลักการและข้อมูล เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของทางเลือก
และที่สำคัญคือ การลดการตัดสินใจที่ผิดพลาด
ในระดับประเทศยิ่งต้องมีการตัดสินปัญหา และดำเนินการต่าง ๆ
เพื่อผลประโยชน์ของประเทศ การตัดสินใจของคณะผู้บริหารประเทศ
โดยเฉพาะผู้กำหนดมาตรการต่าง ๆ เพื่อเอื้ออำนวยประโยชน์สูงต่อส่วนรวม ดังจะ
เห็นได้จากการตัดสินใจที่ผิดพลาดจากการต่อสู้ประกันค่าเงินบาท
ทำให้ประเทศชาติต้องสูญเสียเงินตราและทุนสำรองของประเทศไปมากมายมหาศาล
และส่งผลทำให้เกิดวิกฤตเศรษฐกิจที่มีผลอย่างต่อเนื่อง การดำเนินการต่าง ๆ
จึงขึ้นอยู่กับการตัดสินใจแก้ปัญหา และหาทางเอาชนะปัญหา และความซับซ้อน
ลองนึกดูว่าเมื่อเราเล่นเกมหรือหมากรุกกับเพื่อน
เราจะต้องคิดและแก้ปัญหาสถานการณ์ และสถานการณ์แต่ละครั้งอาจแปรเปลี่ยนไป
การแก้ปัญหาเหมือนการเล่นเกม ที่ทุกคนหวังที่จะได้ชัยชนะ
การเลือกทางเดินแต่ละครั้งก็เพื่อที่จะหาทางที่ดีที่สุด
แต่สถานการณ์ก็เปลี่ยนแปลงไป การปรับแต่งและแก้ปัญหาจึงต้องขึ้นกับสถานการณ์
การดำเนินธุรกิจก็เหมือนกับการเล่นเกม ที่ต้องแก้ปัญหาตลอดเวลา
และหาทางที่จะให้ได้ผลลัพธ์ดีที่สุด ตามวัตถุประสงค์ที่วางไว้
เพื่อให้การแก้ปัญหาเกิดขึ้นอย่างเป็นระบบ
เรามาดูลักษณะของปัญหาที่มีอยู่ในโลก
ปัญหาที่มีอยู่ในโลกพอแยกออกเป็นปัญหาแบบมีโครงสร้าง ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง
ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง
ปัญหาแบบมีโครงสร้าง
ปัญหาในโลกนี้เป็นปัญหาที่เกิดจากการผสมผสานของตัวแปรจำนวนมาก
มีทั้งตัวแปรที่มีรูปธรรมและไม่มีรูปธรรม ตัวแปรที่มีรูปธรรมได้แก่ วัตถุ เงิน
สถานที่ เป็นต้น สำหรับตัวแบบที่ไม่เป็นรูปธรรม เช่น ความรู้สึก อารมณ์
และสิ่งที่เป็นความคิด ความเข้าใจ ประสบการณ์
ซึ่งยากที่จะเขียนออกเป็นสูตรหรือสมการ สิ่งที่สำคัญคือ
ปัญหาส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อน
การแบ่งแยกปัญหาออกเป็นปัญหาที่มีโครงสร้าง และไม่มีโครงสร้าง
จึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เกี่ยวโยงกับปัญหา นั่นเอง
ปัญหาที่มีโครงสร้าง
เป็นปัญหาที่สามารถผูกตัวปัญหาเป็นโมเดลได้ชัดเจน สามารถแทนสูตร สมการ หรือสร้างระบบการแทนปัญหา
หาวิธีการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้คำตอบ ปัญหาที่มีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีการศึกษา
และสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์สร้างหลักการพื้นฐานต่าง ๆ
มากมายที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งศาสตร์ของการแก้ปัญหาและวิธีการก็มีผู้พัฒนาคิดค้นขึ้นมากมาย
และยังคงพัฒนาต่อไป เช่น การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การหาคำตอบที่เป็นไปได้
และการสร้างทางเลือกที่ดี วิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นการใช้วิธีการเชิงคำนวณอยู่มาก
อย่างไรก็ดี การมีคอมพิวเตอร์ทำให้การคำนวณค่าต่าง ๆ
คำนวณได้รวดเร็ว ปัญหาต่าง ๆ ที่แต่เดิมยากที่จะหาคำตอบได้
ปัจจุบันก็ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์คำนวณหาคำตอบ ทำให้การประยุกต์ใช้ทำได้มากมาย เช่น
การตรวจสอบบางอย่างทางการแพทย์ การประมวลผลงาน ก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากการคำนวณ
ปัญหาแบบมีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีเพียงส่วนน้อยนิดเมื่อเทียบกับปัญหาทั้งหมดที่เผชิญอยู่ในชีวิต
แต่ปัญหาที่มีโครงสร้างก็สร้างความมั่นใจให้กับผู้ดำเนินการและตัดสินใจ
เพราะมีความแน่นอนในหลักการทางวิชาการ ทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง
และให้ผลดีกับผู้ตัดสินใจ
การเรียนรู้การแก้ปัญหาแบบมีโครงสร้างจึงต้องอาศัยหลักและทฤษฎีต่าง ๆ มากมาย
ลองนึกถึงโจทย์ปัญหาต่าง ๆ เช่น
ถ้าจะเลือกของสองสิ่งที่ราคาต่างกัน จะเลือกอะไรดี โดยตัดความชอบออก
เราก็จะต้องหาทางตัดสินปัญหา
ถ้าเป็นปัญหาแบบโครงสร้างเราก็คงดูที่ราคาและประโยชน์ใช้สอย
ตลอดจนคุณภาพของสินค้านั้น ถ้าประโยชน์ใช้สอยสามารถบอกเป็นตัวเลขได้
คุณภาพก็บอกถึงอายุการใช้งานได้ การตัดสินใจเลือกคงไม่ยาก
เพราะเป็นปัญหาแบบโครงสร้าง แต่เราจะพบว่ามีเงื่อนไขความพอใจ
หรือเงื่อนไขบางอย่างไม่สามารถประเมินเป็นตัวเลขได้ จึงยากที่จะสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เพื่อคิดคำนวณหาผลลัพธ์ได้
ตัวอย่างของปัญหาโครงสร้าง
เช่น หากเราเป็นผู้ผลิตสินค้าชนิดหนึ่ง โดยตั้งราคาขายไว้ที่ 100 บาทต่อหน่วย
การลงทุนผลิตสินค้าชนิดนี้ประกอบด้วยต้นทุนคงที่ เช่น ค่าแม่พิมพ์สำหรับฉีดพลาสติก
ค่าดำเนินการออกแบบผลิตภัณฑ์ ต้นทุนคงที่ใช้ทั้งหมด 200,000 บาท
การผลิตยังต้องใช้วัตถุดิบซึ่งเป็นต้นทุนผันตามการผลิต
โดยมีต้นทุนแปรผันส่วนนี้เท่ากับ 20 บาทต่อหน่วย
คำถามมีอยู่ว่า
จะต้องผลิตและขายให้ได้เท่าไรจึงจะคุ้มทุน โดยสมมุติว่า
จุดต่ำสุดที่ผลิตและขายได้ทั้งหมด
ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาจุดคุ้มทุนที่รู้จักกันดี
ที่สามารถสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย โดยให้
P
เป็นราคาขายต่อหน่วย
R
เป็นรายรับจากการขาย
N
เป็นจำนวนที่ผลิต
ดังนั้น R = PN
และ
F เป็นต้นทุนคงที่
และ
V เป็นต้นทุนผันแปรต่อหน่วย
TC
คือต้นทุนรวม
ดังนั้น
TC =VN + F
การที่จะต้องให้ได้เท่าทุน R
= TC
หรือ PN = VN + F
เราสามารถคำนวณหาคำ N
ได้
100 N=20N + 200000
80 N=200,000
N=2,500 หน่วย
เมื่อนำปัญหานี้มาเขียนกราฟ โดย แกน X แทนจำนวนหน่วย
แกน Y แทนจำนวนเงิน
ลักษณะของกราฟแสดงให้เห็นจุดคุ้มทุน หรือจุดที่ได้กำไรเป็น 0
การเขียนกราฟทำให้ง่ายต่อการตัดสินใจ และทำให้ทราบว่า
ถ้าผลิตและขายได้จำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรหรือขาดทุน ทำให้การตัดสินใจทำได้ง่ายขึ้น
